Question

12．化簡(jiǎn)并計(jì)算：
（1）sin50°（1+$\sqrt{3}$tan10°）；
（2）已知cos（α-$\frac{β}{2}$）=-$\frac{1}{3}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），sin（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，β∈（0，$\frac{π}{2}$），求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數(shù)以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可．
（2）求出所求角的范圍，利用兩角和與差的三角函數(shù)，化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（1）課本P146，5（4）
sin50°（1+$\sqrt{3}$tan10°）
=$sin50°[1+\sqrt{3}\frac{sin10°}{cos10°}]$
=sin50°$\frac{cos10°+\sqrt{3}sin10°}{cos10°}$
=sin50°$\frac{2sin（30°+10°）}{cos10°}$
=$\frac{2sin50°sin40°}{cos10°}$
=$\frac{sin80°}{cos10°}$=1；
…（5分）
（2）∵$α∈（\frac{π}{2}，π），β∈（0，\frac{π}{2}）$
∴$α-\frac{β}{2}∈（\frac{π}{4}，π）$，
∴$sin（α-\frac{β}{2}）=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…（7分）
$又\frac{α}{2}-β∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，∴$cos（\frac{α}{2}-β）=\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…9分
∵$cos[（α-\frac{β}{2}）-（\frac{α}{2}-β）]=cos（\frac{α+β}{2}）=（-\frac{1}{3}）\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}\frac{{\sqrt{6}}}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（11分）
∴$cos（α+β）=2{cos^2}（\frac{α+β}{2}）-1=-\frac{1}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．