Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=x²的圖象上，數(shù)列{b_n}滿足b_n=6_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2，n∈N^*），且b₁=a₁+3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：數(shù)列{

bn

2n

+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足對任意n∈N^*，均有a_n+1=

c1

b1+2

+

c2

b2+22

+

c3

b2+23

+…+

cn

bn+2n

成立，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀的值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）本題考查由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項，解題時要注意驗證當n=1時，是否成立，若成立寫成一個表達式，若不成立則要分段寫出通項．
（2）構(gòu)造一個新數(shù)列，要求證明數(shù)列是一個等比數(shù)列，這種問題一般用等比數(shù)列的定義，即用后一項比前一項，若得到的結(jié)果是一個常數(shù)，得到數(shù)列是等比數(shù)列．
（3）根據(jù)上一問得到的結(jié)果，寫出分式的分母的最簡結(jié)果，根據(jù)數(shù)列的定義得到新數(shù)列的通項，注意是一個分段形式，用等比數(shù)列的前n項和公式得到結(jié)果．

解答： （1）解：∵點（n，s_n）在函數(shù)y=x²的圖象上，
∴s_n=n²（n∈N^*）
當n=1時，a₁=s₁=1²=1，
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，a₁=1也適合，
∴{a_n}的通項公式為a_n=2n-1（n∈N^*）；
（2）證明：∵b_n=6b_n-1+2ⁿ⁺¹（n≥2），
∴

bn

2n

+1=3•

bn-1

2n-1

+3，即

bn

2n

+1=3（

bn-1

2n-1

+1），
∵b₁=a₁+3=4，

b1

2

+1=3，
∴{

bn

2n

+1}是其首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴

bn

2n

+1=3•3^n-1=3ⁿ，
則b_n=6ⁿ-2ⁿ（n∈N^*）；
（3）由（2）得b_n+2ⁿ=6ⁿ
由題意得，任意n∈N^*，均有a_n+1=

c1

b1+2

+

c2

b2+22

+

c3

b2+23

+…+

cn

bn+2n

成立，
∴a_n=

c1

b1+2

+

c2

b2+22

+

c3

b2+23

+…+

cn-1

bn-1+2n-1

，（n＞1）
∴a_n+1-a_n=

cn

bn+2n

=2，則c_n=2•6ⁿ（n＞1），
∴c_n=

18，n=1 2•6n，n≥2

，
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₀=18+2（6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁰）=6+2（6¹+6²+6³+…+6²⁰¹⁰）
=6+2•

6(1-62010)

1-6

=

2•62011+18

5

=

2

5

（6²⁰¹¹+9）．

點評：有的數(shù)列可以通過遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造出一個我們較熟悉的數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式．這類問題考查學生的靈活性，考查學生分析問題及運用知識解決問題的能力，這是一種化歸能力的體現(xiàn)．