Question

18．如圖，邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，AF∩BC=O，DE=$\sqrt{2}$，ED∥AF，且∠DAF=90°．
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）過O作OH⊥平面BEF，垂足為H，求三棱錐A-BCH的體積．

Answer 1

分析 （1）連結EO，推導出四連形DEOA是平行四邊形，從而DA∥EO，推導出EO⊥平面ABFC，從而EO⊥AF，由正方形性質得AF⊥BC，從而AF⊥平面BCE，由此能證明DE⊥平面BCE．
（2）取BF的中點G，連結OG，則OG⊥BF，連結EG，過O作OM⊥EG于M，三棱錐A-BCH的體積V_A-BCH=V_H-ABC，由此能求出結果．

解答 證明：（1）連結EO，∵AF=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，
∴DE$\underset{∥}{=}$AD，∴四連形DEOA是平行四邊形，∴DA∥EO，
∵平面DAFE⊥平面ABFC，且平面DAFE∩平面ABFC=AF，
∠DAF=90°，∴DA⊥平面ABFC，∴EO⊥平面ABFC，
∵AF?平面ABFC，∴EO⊥AF，
在正方形ABFC中，∵AF⊥BC，EO∩BC=O，∴AF⊥平面BCE，
∵DE∥AF，∴DE⊥平面BCE．
解：（2）取BF的中點G，連結OG，則OG⊥BF，連結EG，過O作OM⊥EG于M，
∵EO⊥平面BOF，∴EO⊥BF，∴BF⊥平面EOG，
∴BF⊥OM，∴OM⊥平面BEF，∴H與M重合，
在Rt△EOG中，EO=2，OG=1，EG=$\sqrt{5}$，
由OG²=HG×EG，得HG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴HG=$\frac{1}{5}EG$，
過H作HK⊥OG，垂足為K，則HK⊥平面ABF，交OG于K，則HK∥EO，
且HK=$\frac{1}{5}EO$=$\frac{2}{5}$，
∴三棱錐A-BCH的體積V_A-BCH=V_H-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×2×2$=$\frac{4}{15}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．