【題目】在2019年女排世界杯中,中國女子排球隊以11連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績成功奪冠,為祖國母親七十華誕獻(xiàn)上了一份厚禮.排球比賽采用5局3勝制,前4局比賽采用25分制,每個隊只有贏得至少25分,并同時超過對方2分時,才勝1局;在決勝局(第五局)采用15分制,每個隊只有贏得至少15分,并領(lǐng)先對方2分為勝.在每局比賽中,發(fā)球方贏得此球后可得1分,并獲得下一球的發(fā)球權(quán),否則交換發(fā)球權(quán),并且對方得1分.現(xiàn)有甲乙兩隊進(jìn)行排球比賽:
(1)若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局,乙贏一局.接下來兩隊贏得每局比賽的概率均為,求甲隊最后贏得整場比賽的概率;
(2)若前四局比賽中甲、乙兩隊已經(jīng)各贏兩局比賽.在決勝局(第五局)中,兩隊當(dāng)前的得分為甲、乙各14分,且甲已獲得下一發(fā)球權(quán).若甲發(fā)球時甲贏1分的概率為,乙發(fā)球時甲贏1分的概率為,得分者獲得下一個球的發(fā)球權(quán).設(shè)兩隊打了個球后甲贏得整場比賽,求x的取值及相應(yīng)的概率p(x).
【答案】(1)(2)x的取值為2或4, .
【解析】
(1)先確定甲隊最后贏得整場比賽的情況,再分別根據(jù)獨立事件概率乘法公式求解,最后根據(jù)互斥事件概率加法公式得結(jié)果;
(2)先根據(jù)比賽規(guī)則確定x的取值,再確定甲贏得整場比賽的情況,最后根據(jù)獨立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得結(jié)果.
(1)甲隊最后贏得整場比賽的情況為第四局贏或第四局輸?shù)谖寰众A,
所以甲隊最后贏得整場比賽的概率為,
(2)根據(jù)比賽規(guī)則,x的取值只能為2或4,對應(yīng)比分為
兩隊打了2個球后甲贏得整場比賽,即打第一個球甲發(fā)球甲得分,打第二個球甲發(fā)球甲得分,此時概率為;
兩隊打了4個球后甲贏得整場比賽,即打第一個球甲發(fā)球甲得分,打第二個球甲發(fā)球甲失分,打第三個球乙發(fā)球甲得分,打第四個球甲發(fā)球甲得分,或打第一個球甲發(fā)球甲失分,打第二個球乙發(fā)球甲得分,打第三個球甲發(fā)球甲得分,打第四個球甲發(fā)球甲得分,此時概率為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求證:函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;
(2)記為函數(shù)的反函數(shù).若關(guān)于的方程在上有解,求的取值范圍;
(3)若對于恒成立,求的取值范圍.
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【題目】對于數(shù)列,稱(其中)為數(shù)列的前k項“波動均值”.若對任意的,都有,則稱數(shù)列為“趨穩(wěn)數(shù)列”.
(1)若數(shù)列1,,2為“趨穩(wěn)數(shù)列”,求的取值范圍;
(2)若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比,求證:是“趨穩(wěn)數(shù)列”;
(3)已知數(shù)列的首項為1,各項均為整數(shù),前項的和為. 且對任意,都有, 試計算: ().
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【題目】2018年反映社會現(xiàn)實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動,治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費用(百萬元)和銷量(萬盒)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
研發(fā)費用(百萬元) | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 15 | 18 | 21 |
銷量(萬盒) | 1 | 1 | 2 | 2.5 | 3.5 | 3.5 | 4.5 | 6 |
(1)求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時,可用線性回歸方程模型擬合);
(2)該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對其進(jìn)行兩次檢測,當(dāng)?shù)谝淮螜z測合格后,才能進(jìn)行第二次檢測.第一次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測過程相互獨立,設(shè)經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.
附:(1)相關(guān)系數(shù)
(2),,,.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)過點作傾斜角為的直線交于兩點,過作與平行的直線交于點,若,求.
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【題目】已知某地區(qū)某種昆蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān).現(xiàn)收集了一只該品種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(個)和溫度()的7組觀測數(shù)據(jù),其散點圖如所示:
根據(jù)散點圖,結(jié)合函數(shù)知識,可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)卵數(shù)和溫度可用方程來擬合,令,結(jié)合樣本數(shù)據(jù)可知與溫度可用線性回歸方程來擬合.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),計算得到如下值:
27 | 74 | 182 |
表中,.
(1)求和溫度的回歸方程(回歸系數(shù)結(jié)果精確到);
(2)求產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程;若該地區(qū)一段時間內(nèi)的氣溫在之間(包括與),估計該品種一只昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)的范圍.(參考數(shù)據(jù):,,,,.)
附:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.
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【題目】已知是定義在上的函數(shù),如果存在常數(shù),對區(qū)間的任意劃分:,和式恒成立,則稱為上的“絕對差有界函數(shù)”。注:。
(1)證明函數(shù)在上是“絕對差有界函數(shù)”。
(2)證明函數(shù)不是上的“絕對差有界函數(shù)”。
(3)記集合存在常數(shù),對任意的,有成立,證明集合中的任意函數(shù)為“絕對差有界函數(shù)”,并判斷是否在集合中,如果在,請證明并求的最小值;如果不在,請說明理由。
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【題目】已知橢圓的左焦點為F,短軸的兩個端點分別為A,B,且,為等邊三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,點M在橢圓C上且位于第一象限內(nèi),它關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點為N;過點M作x軸的垂線,垂足為H,直線與橢圓C交于另一點J,若,試求以線段為直徑的圓的方程;
(3)已知是過點A的兩條互相垂直的直線,直線與圓相交于P,Q兩點,直線與橢圓C交于另一點R,求面積最大值時,直線的方程.
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【題目】已知二次函數(shù)和函數(shù),
(1)若為偶函數(shù),試判斷的奇偶性;
(2)若方程有兩個不等的實根,則
①試判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有單調(diào)性,并說明理由;
②若方程的兩實根為求使成立的的取值范圍.
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