【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交于兩點(diǎn),過(guò)作與平行的直線交于點(diǎn),若,求.
【答案】(1)的普通方程為;的直角方程為; (2)
【解析】
(1)根據(jù)加減消元得曲線的普通方程,根據(jù),得的直角坐標(biāo)方程;
(2)先寫出直線,參數(shù)方程,代入,,再根據(jù)參數(shù)幾何意義化簡(jiǎn)條件解得結(jié)果.
(1)①:∵(為參數(shù)),∴,
又∵,
∴曲線的普通方程為;
②∵,∴,又∵,,
∴,即,
∴曲線的直角方程為;
(2)由題意,設(shè)(為參數(shù)),(為參數(shù)),
依題意,,
與聯(lián)立得,
與聯(lián)立得,
設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則
,,
由且,得.
∴,即,故,又∵,∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,曲線由兩個(gè)橢圓:和橢圓:組成,當(dāng)成等比數(shù)列時(shí),稱曲線為“貓眼曲線”.
(1)若貓眼曲線過(guò)點(diǎn),且的公比為,求貓眼曲線的方程;
(2)對(duì)于題(1)中的求貓眼曲線,任作斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線與該曲線相交,交橢圓所得弦的中點(diǎn)為M,交橢圓所得弦的中點(diǎn)為N,求證:為與無(wú)關(guān)的定值;
(3)若斜率為的直線為橢圓的切線,且交橢圓于點(diǎn),為橢圓上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方體中,、分別是棱、的中點(diǎn),、分別是線段與上的點(diǎn),則與平面平行的直線有( )
A.0條B.1條C.2條D.無(wú)數(shù)條
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.
(1)設(shè),判斷在上是否為有界函數(shù),若是,請(qǐng)說(shuō)明理由,并寫出的所有上界的集合;若不是,也請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當(dāng)a=-3時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
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【題目】在2019年女排世界杯中,中國(guó)女子排球隊(duì)以11連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績(jī)成功奪冠,為祖國(guó)母親七十華誕獻(xiàn)上了一份厚禮.排球比賽采用5局3勝制,前4局比賽采用25分制,每個(gè)隊(duì)只有贏得至少25分,并同時(shí)超過(guò)對(duì)方2分時(shí),才勝1局;在決勝局(第五局)采用15分制,每個(gè)隊(duì)只有贏得至少15分,并領(lǐng)先對(duì)方2分為勝.在每局比賽中,發(fā)球方贏得此球后可得1分,并獲得下一球的發(fā)球權(quán),否則交換發(fā)球權(quán),并且對(duì)方得1分.現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽:
(1)若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局,乙贏一局.接下來(lái)兩隊(duì)贏得每局比賽的概率均為,求甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽的概率;
(2)若前四局比賽中甲、乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏兩局比賽.在決勝局(第五局)中,兩隊(duì)當(dāng)前的得分為甲、乙各14分,且甲已獲得下一發(fā)球權(quán).若甲發(fā)球時(shí)甲贏1分的概率為,乙發(fā)球時(shí)甲贏1分的概率為,得分者獲得下一個(gè)球的發(fā)球權(quán).設(shè)兩隊(duì)打了個(gè)球后甲贏得整場(chǎng)比賽,求x的取值及相應(yīng)的概率p(x).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,底面,,為線段的中點(diǎn),若為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不含).
(1)平面與平面是否互相垂直?如果是,請(qǐng)證明;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)求二面角的余弦值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知非空集合是由一些函數(shù)組成,滿足如下性質(zhì):①對(duì)任意,均存在反函數(shù),且;②對(duì)任意,方程均有解;③對(duì)任意、,若函數(shù)為定義在上的一次函數(shù),則.
(1)若,,均在集合中,求證:函數(shù);
(2)若函數(shù)()在集合中,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若集合中的函數(shù)均為定義在上的一次函數(shù),求證:存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得對(duì)一切,均有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一研學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組利用課余時(shí)間,對(duì)某公司1月份至5月份銷售某種產(chǎn)品的銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查,月銷售單價(jià)(單位:元)和月銷售量(單位:百件)之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
月銷售單價(jià)(元) | 1.6 | 1.8 | 2 | 2.2 | 2.4 |
月銷售量(百件) | 10 | 8 | 7 | 6 | 4 |
(1)根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的回歸直線方程;
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,月銷售量與月銷售單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,若該種產(chǎn)品的成本是1元/件,那么該產(chǎn)品的月銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元才能獲得最大月利潤(rùn)?(注:利潤(rùn)=銷售收入-成本)
(回歸直線方程,其中.參考數(shù)據(jù):,)
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