Question

圓C：（x-1）²+y²=25，過點P（2，-1）作圓的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是（　　）

• A、10

  13

• B、9

  21

• C、10

  23

• D、9

  11

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：計算題,直線與圓

分析：根據題意，AC為經過點P的圓的直徑，而BD是與AC垂直的弦．因此算出PM的長，利用垂直于弦的直徑的性質算出BD長，根據四邊形的面積公式即可算出四邊形ABCD的面積．

解答： 解：∵圓的方程為：（x-1）²+y²=25，
∴圓心坐標為M（1，0），半徑r=5．
∵P（2，-1）是該圓內一點，
∴經過P點的直徑是圓的最長弦，且最短的弦是與該直徑垂直的弦．
結合題意，得AC是經過P點的直徑，BD是與AC垂直的弦．
∵|PM|=

2

，
∴由垂徑定理，得|BD|=2

25-2

=2

23

．
因此，四邊形ABCD的面積是S=

1

2

|AC|•|BD|=

1

2

×10×2

23

=10

23

．
故選：C．

點評：本題給出圓內一點P，求經過點P最長的弦與最短的弦構成的四邊形的面積．著重考查了圓的標準方程、兩點間的距離公式和垂直于弦的直徑的性質等知識，屬于中檔題．