Question

如圖：內(nèi)接于⊙O的△ABC的兩條高線AD、BE相交于點(diǎn)H,過圓心O作OF⊥BC于 F，連接AF交OH于點(diǎn)G，并延長CO交圓于點(diǎn)I.

(1) 若,試求的值；

(2)若,試求的值；

(3)若O為原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－4,－3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(4,－3),試求點(diǎn)G的軌跡方程.

 

Answer 1

（1）;（2）;（3）（）.

【解析】

試題分析：（1）利用向量共線，得∴；

（2）利用共面向量基本定理以及向量的加減運(yùn)算，得出，而

∴；

（3）經(jīng)過計(jì)算，∵OF=IB=,∴FG=又F為BC的中點(diǎn)，可得出G為△ABC的重心，然后用替換的思想，設(shè)A（）,G（），則,得：，把動(dòng)點(diǎn)代入已知方程，便可求出未知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡，注意范圍.

試題解析：∵CI為直徑 ∴∠IAC和∠IBC均為直角

∴AI∥BE,BI∥AD∴四邊形AIBH為平行四邊形

（1）∴

（2）

而

∴

∴而

∴

（3）∵OF=IB=,∴FG=又F為BC的中點(diǎn)，∴G為△ABC的重心

顯然,A的軌跡為除B,C外的⊙O，其方程為：（）

設(shè)A（）,G（），則,得：代入⊙O的方程并化簡得G的軌跡方程為：（）.

考點(diǎn)：向量共線基本定理，共面向量基本定理，替換法.