Question

5．如圖，已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$（{2，\sqrt{2}}）$，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓E上，且對(duì)角線AC，BD過(guò)原點(diǎn)O，${k_{AC}}•{k_{BD}}=-\frac{b^2}{a^2}$．
（1）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍；
（2）求證：四邊形ABCD的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$（{2，\sqrt{2}}）$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線AC、BD的方程分別為$y=kx，y=-\frac{1}{2k}x$．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2k}x\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，由橢圓的對(duì)稱性可知S_{四邊形ABCD}=4×S_△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．由此能證明四邊形ABCD的面積為定值．

解答 解：（1）∵橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$（{2，\sqrt{2}}）$，
∴由題意可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ \frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=8\\{b^2}={c^2}=4\end{array}\right.$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
證明：（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設(shè)x₁＞0，x₂＞0．
設(shè)k_AC=k，∵${k_{AC}}•{k_{BD}}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{2}$，∴${k_{BD}}=-\frac{1}{2k}$
可得直線AC、BD的方程分別為$y=kx，y=-\frac{1}{2k}x$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2k}x\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$．
解得${x_1}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+2{k^2}}}}，{x_2}=\frac{4|k|}{{\sqrt{1+2{k^2}}}}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}=\frac{{4\sqrt{2}|k|}}{{1+2{k^2}}}≤\frac{{4\sqrt{2}|k|}}{{2\sqrt{2}|k|}}=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)$|k|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
由橢圓的對(duì)稱性可知S_{四邊形ABCD}=4×S_△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．
∴$S_{四邊形ABCD}^2=4[{{{|{OA}|}^2}{{|{OB}|}^2}-{{（{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}）}^2}}]$
=$4[{（{x_1^2+y_1^2}）（{x_2^2+y_2^2}）-{{（{{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}}）}^2}}]$
=$4{（{{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}}）^2}$=$4{（{-\frac{1}{2k}{x_1}{x_2}-k{x_1}{x_2}}）^2}$=$4{（{k+\frac{1}{2k}}）^2}{（{\frac{{8\sqrt{2}k}}{{1+2{k^2}}}}）^2}$=128，
∴四邊形ABCD的面積=$8\sqrt{2}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形的面積為定值的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．