Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，又PB=1，∠PBC=120°，AB⊥PC，直線AB與直線PD所成的角為60°．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求AB的長(zhǎng)，并求二面角D-PB-C的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐A-DPB的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由AB⊥PC，AB⊥BC，能證明AB⊥平面PBC．
（Ⅱ）取BC的中點(diǎn)E，則BE=1，連結(jié)PE，DE，∠PDE為異面直線AB與PD所成的角，由此利用余弦定理，能求出AB=1；在平面PBC內(nèi)，過(guò)B作BF⊥BC，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，利用向量法能求出二面角D-PB-C的余弦值．（Ⅲ）由V_A-DPB=V_P-BDE=V_D-BPE，利用等積法能求出三棱錐A-DPB的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB⊥PC，AB⊥BC，BC∩PC=C，
∴AB⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：取BC的中點(diǎn)E，則BE=1，連結(jié)PE，DE，
∵AD

∥

.

BE，∴AB

∥

.

DE，
由（Ⅰ）知DE⊥平面PBC，且∠PDE為異面直線AB與PD所成的角，
∴∠PDE=60°，
在△PBE中，由余弦定理，得PE=

BP2+BE2-2BP•BE•cos120°

=

3

，
在Rt△PDE中，DE=

PE

tan∠PDE

=

3

×

3

3

=1．
∴AB=1，
在平面PBC內(nèi)，過(guò)B作BF⊥BC，
建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
則B（0，0，0），D（1，1，0），P（0，-

1

2

，

3

2

），
∴

BD

=(1，1，0)，

BP

=(0，-

1

2

，

3

2

)，
設(shè)平面BDP的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • BD =x+y=0 n • BP =- 1 2 y+ 3 2 z=0

，
取z=

3

，得

n

=(-3，3，

3

)，
取平面PBC的法向量

m

=(1，0，0)
∴cos＜

n

，

m

＞=

-3

9+9+3

=-

21

7

，
由圖知二面角D-PB-C為銳角，
∴二面角D-PB-C的余弦值為

21

7

．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ABED為正方形，
∴V_A-DPB=V_P-BDE=V_D-BPE
=

1

3

×

1

2

×BP×BE×sin120°×DE
=

3

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．