Question

【題目】在某市組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(60,100)，已知成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有13人．

(1)求此次參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？

(2)若計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前228名的學(xué)生，問(wèn)受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少？

（參考數(shù)據(jù)：若，則；；）

Answer 1

【答案】（1）10000；（2）80

【解析】分析： （1）設(shè)出參賽人數(shù)的分?jǐn)?shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)符合正態(tài)分布，根據(jù)成績(jī)?cè)?/span>90分以上（含90分）的學(xué)生有13名，列出大于90分的學(xué)生的概率，成績(jī)?cè)?/span>90分以上（含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的0.0013，列出比例式，得到參賽的總?cè)藬?shù)．

（2）設(shè)受獎(jiǎng)的學(xué)生的分?jǐn)?shù)線為x0．由P（X≥x0）= =0.0228<0.5，可得x0>60．進(jìn)一步得知P（120-x0<X<x0）=1-2P（X≥x0）=0.9544，即可得x0=60+20=80，故受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是80．

詳解：設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X，X～N(60,100)．

則μ＝60，σ＝10.

(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.

∴P(X＞90)＝ [1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3

∴學(xué)生總數(shù)為：＝10 000(人)．

(2)成績(jī)排在前228名的學(xué)生數(shù)占總數(shù)的0.022 8.設(shè)分?jǐn)?shù)線為x.

則P(X≥x0)＝0.022 8.

∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.

又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.

∴x0＝60＋2×10＝80(分)．

點(diǎn)晴：正態(tài)分布問(wèn)題，注意三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

（1）對(duì)稱軸 ；②標(biāo)準(zhǔn)差 ；③分布區(qū)間。利用對(duì)稱性求制定區(qū)間范圍內(nèi)的概率值。