Question

（2009•連云港二模）已知二階矩陣M有特征值λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量=，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（﹣1，2）變換成（﹣2，4）．

（1）求矩陣M；

（2）求矩陣M的另一個(gè)特征值，及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系．

（3）求直線l：x﹣y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程．

 

Answer 1

（1）M=．（2）2x+y=0．（3）x﹣y+2=0．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出要求的矩陣，根據(jù)矩陣的特征向量和特征值，和把一個(gè)點(diǎn)變成另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到關(guān)系式，即得到關(guān)于字母的方程組，解方程組得到結(jié)果．

（2）根據(jù)第一問(wèn)得到矩陣M的特征多項(xiàng)式，求出對(duì)應(yīng)的特征值，設(shè)出矩陣的另一個(gè)特征向量，根據(jù)兩者的關(guān)系寫出結(jié)果．

（3）設(shè)出點(diǎn)（x，y）是直線l上的任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），根據(jù)變換前后寫出關(guān)系式，整理出要求的直線的方程．

【解析】
（1）設(shè)M=，則=8=，

故=，

故

聯(lián)立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，

故M=．

（2）由（1）知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，

故其另一個(gè)特征值為λ=2．

設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e2=，

則M e2=，

解得2x+y=0．

（3）設(shè)點(diǎn)（x，y）是直線l上的任一點(diǎn)，

其在矩陣M的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），

則=，

即，

代入直線l的方程后并化簡(jiǎn)得x′﹣y′+2=0，

即x﹣y+2=0．