Question

設(shè)P（a，b）（b≠0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，l是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)（1，b）的直線(xiàn)，記Q是直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)x²=2py（p≠0）的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)
（1）若a=1，b=2，p=2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)
（2）若點(diǎn)P（a，b）（ab≠0）在橢圓+y²=1上，p=，
求證：點(diǎn)Q落在雙曲線(xiàn)4x²-4y²=1上
（3）若動(dòng)點(diǎn)P（a，b）滿(mǎn)足ab≠0，p=，若點(diǎn)Q始終落在一條關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)上，試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡落在哪種二次曲線(xiàn)上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立姐方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，
（2）將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求出交點(diǎn)Q的坐標(biāo)；將P的坐標(biāo)代入橢圓方程得到a，b滿(mǎn)足的關(guān)系，變形得到Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)方程，證出點(diǎn)Q在雙曲線(xiàn)上．
（3）設(shè)出Q所在的拋物線(xiàn)方程，將Q的坐標(biāo)代入得到a，b滿(mǎn)足的方程；通過(guò)對(duì)p，c的分類(lèi)討論得到P所在的曲線(xiàn)．
解答：解：（1）當(dāng)a=1，b=2，p=2時(shí)，
解方程組得即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，16）（3分）
（2）證明：由方程組得
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5分）
∵P時(shí)橢圓上的點(diǎn)，即=1
∴，
因此點(diǎn)Q落在雙曲線(xiàn)4x²-4y²=1上（8分）
（3）設(shè)Q所在的拋物線(xiàn)方程為y²=2q（x-c），q≠0（10分）
將代入方程，得，即b²=2qa-2qca²（12分）
當(dāng)c=0時(shí)，b²=2qa，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在拋物線(xiàn)上；
當(dāng)qc=時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在圓上；
當(dāng)qc＞0且qc≠時(shí)，=1，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在橢圓上；
當(dāng)qc＜0時(shí)=1，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在雙曲線(xiàn)上；（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系常用的處理方法是將它們的方程聯(lián)立、判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡常通過(guò)動(dòng)點(diǎn)的方程來(lái)判斷．