Question

已知函數(shù)f（x）=的圖象在點M（-1，f（-1））處的切線方程為x+2y+5=0．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出f′（x），把M的坐標(biāo)代入切線方程即可求出f（-1）=-2，代入f（x）中，再根據(jù)切線的斜率為-得到f′（-1）=-，代入到f′（x）中，聯(lián)立兩者求出a與b的值即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）把a與b的值代入到f′（x）中求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，讓f′（x）大于0求出x的取值范圍即為函數(shù)的遞增區(qū)間；讓f′（x）小于0求出x的取值范圍即為函數(shù)的遞減區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的圖象在點M（-1，f（-1））處的切線的方程為x+2y+5=0，
得-1+2f（-1）+5=0，即f（-1）=-2，而根據(jù)切線的斜率為-得到f′（-1）=-，
∵f′（x）=，
利用f（-1）=-2和f′（-1）=-聯(lián)立得
∴解得，把a和b的值代入可得；
（II）f′（x）=，由f′（x）＞0得到3-2＜x＜3+2；
由f'（x）＜0得到，x＜3-2或x＞3+2
所以函數(shù)f（x）在（-∞，3-2），（3+2，+∞）上單調(diào)遞減，在（3-2，3+2）上單調(diào)遞增．
點評：此題是一道綜合題，要求學(xué)生會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，讓學(xué)生掌握利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的斜率及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．