Question

20．某媒體對“男女延遲退休”這一公眾關注的問題進行名意調查，如表是在某單位得到的數據：

	贊同	反對	合計
男	50	150	200
女	30	170	200
合計	80	320	400

（Ⅰ）能否有97.5%的把握認為對這一問題的看法與性別有關？
（Ⅱ）從贊同“男女延遲退休”的80人中，利用分層抽樣的方法抽出8人，然后從中選出3人進行陳述發(fā)言，設發(fā)言的女士人數為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題中的數據計算K²=6.25＞5.024，從而有97.5%的把握認為對這一問題的看法與性別有關
（Ⅱ）由已知得抽樣比為$\frac{8}{80}=\frac{1}{10}$，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．根據題意，X服從超幾何分布，$P（X=k）=\frac{{{C_3}^k{C_5}^{3-k}}}{{{C_8}^3}}$，k=0，1，2，3，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）根據題中的數據計算：
K²=$\frac{{400×{{（50×170-30×150）}^2}}}{80×320×200×200}=6.25$
因為6.25＞5.024，所以有97.5%的把握認為對這一問題的看法與性別有關
（Ⅱ）由已知得抽樣比為$\frac{8}{80}=\frac{1}{10}$，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．
根據題意，X服從超幾何分布，$P（X=k）=\frac{{{C_3}^k{C_5}^{3-k}}}{{{C_8}^3}}$，k=0，1，2，3…（8分）
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{5}{28}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{5}^{0}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

X的數學期望為$E（X）=0×\frac{5}{28}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{56}=\frac{9}{8}$．…（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意超幾何分布的性質的合理運用．