Question

15．設(shè)f_n（x）=（3n-1）x²-x（n∈N^*），A_n={x|f_n（x）＜0}
（1）定義A_n={x|x₁＜x＜x₂}的長(zhǎng)度為x₂-x₁，求A_n的長(zhǎng)度；
（2）把A_n的長(zhǎng)度記作數(shù)列{a_n}，令b_n=a_n•a_n+1；
1°求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
2°是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得S₁，S_m，S_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用新定義，即可求A_n的長(zhǎng)度；
（2）1°利用裂項(xiàng)法可求得S_n；
2°假設(shè)存在正整數(shù)m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_m、S_n成等比數(shù)列，可求得（-3m²+6m+2）n=5m²，由1＜m＜n，驗(yàn)證可求得結(jié)論．

解答 解：（1）由f_n（x）＜0得（3n-1）x²-x＜0，∴0＜x＜$\frac{1}{3n-1}$，
∴A_n的長(zhǎng)度為$\frac{1}{3n-1}$；
（2）1°、a_n=$\frac{1}{3n-1}$，b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{3n-1}•\frac{1}{3n+2}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{3}$[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$）+…+（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）]=$\frac{n}{2（3n+2）}$；
2°、由1°可知S₁=$\frac{1}{10}$，S_m=$\frac{m}{2（3m+2）}$，S_n=$\frac{n}{2（3n+2）}$，
假設(shè)存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得S₁，S_m，S_n成等比數(shù)列，
則S_m²=S₁S_n，化簡(jiǎn)得（-3m²+6m+2）n=5m²，
m=2時(shí)，n=10；
m≥3時(shí)，-3m²+6m+2＜0，5m²＞0，等式不成立，
綜上所述，存在正整數(shù)m=2，n=10，使得S₁，S_m，S_n成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義，考查等比數(shù)列、裂項(xiàng)法求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，屬于難題．