Question

19．已知f（x）=ax²+bx+1（a＞0，b∈R）的最小值為-a，f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根為x₁，x₂，P={x|f（x）＜0，x∈R}
（1）求證：|x₁-x₂|=2；
（2）若g（x）=f（x）+2x在x∈P上存在最小值，求a的取值范圍；
（3）若0＜x₁＜2，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過對f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）配方可知，$（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}）^{2}$=1，進(jìn)而化簡即得結(jié)論；
（2）通過不妨設(shè)x₁＜x₂，利用f（x）+2x在（x₁，x₂）存在最小值可知對稱軸位于此區(qū)間內(nèi)，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過韋達(dá)定理可得b的表達(dá)式b=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，利用已知條件可知x₂=x₁+2，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
=a$（x-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$-a$（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}）^{2}$，
∴$（\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}）^{2}$=1，即|x₁-x₂|=2；
（2）解：不妨設(shè)x₁＜x₂，則
f（x）+2x=ax²-[a（x₁+x₂）-2]x+ax₁x₂在（x₁，x₂）存在最小值，
∴x₁＜$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）-2}{2a}$＜x₂，
由（1）可知|x₁-x₂|=2，a＞0，
所以a＞1；
（3）解：∵x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{1}{a}$，
∴b=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜2，x₁x₂=$\frac{1}{a}$＞0，|x₁-x₂|=2，
∴x₂=x₁+2，
∴b=-$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{1}+2}$在x₁∈（0，2）上為增函數(shù)，
∴b＜-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．