Question

16．雙曲線9x²-16y²=-144的實軸長等于6，其漸近線與圓x²+y²-2x+m=0相切，則m=$\frac{16}{25}$．

Answer 1

分析 將雙曲線的方程化為標準方程，求得a，b，c，可得實軸長2a，漸近線方程，求得圓的圓心和半徑，運用直線和圓相切的條件：d=r，解方程可得m的值．

解答 解：雙曲線9x²-16y²=-144即為
$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1，
可得a=3，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5，
實軸長為2a=6；
漸近線方程為y=±$\frac{3}{4}$x，即為3x±4y=0，
圓x²+y²-2x+m=0的圓心為（1，0），半徑為$\sqrt{1-m}$，
由直線和圓相切可得$\frac{3}{\sqrt{9+16}}$=$\sqrt{1-m}$，解得m=$\frac{16}{25}$．
故答案為：6，$\frac{16}{25}$．

點評 本題考查雙曲線的實軸長和漸近線與圓相切，注意運用雙曲線的基本量的關(guān)系和直線和圓相切的條件：d=r，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．