Question

6．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是BC的中點，AB⊥AC，AB=3，AC=4，AA₁=BC．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求三棱錐B₁-ADC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）連結A₁C交AC₁于E，連結DE，則E為A₁C的中點，根據(jù)中位線定理得出DE∥A₁B，于是A₁B∥平面ADC₁．
（2）由平面ABC⊥平面BCC₁B₁可知△ABC的邊BC上的高即為棱錐A-B₁C₁D的高，利用勾股定理和面積法求出BC和BC邊上的高，代入體積公式計算即可．

解答 （1）證明：連結A₁C交AC₁于E，連結DE，則E為A₁C的中點
∵D是BC的中點，
∴A₁B∥DE，又A₁B?平面ADC₁，DE?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．
（2）解：∵AB⊥AC，AB=3，AC=4，∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=5$．
∴△ABC斜邊BC上的高h=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{12}{5}$．
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴A到平面BCC₁B₁的距離為h=$\frac{12}{5}$．
∴V${\;}_{{B}_{1}-AD{C}_{1}}$=V${{\;}_{A-{B}_{1}DC}}_{1}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}D{C}_{1}}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×5×5×\frac{12}{5}$=10．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎題．