Question

設二次函數(shù)f（x）=x²+bx+4，（b∈R）與x軸有交點，若對一切非零實數(shù)x，都有f（x+

1

x

）≥0．
（1）求實數(shù)b的取值集合；
（2）若b=-4，設函數(shù)g（x）=f（x）+

a

f(x)

，x∈[3，2+

2

]，求h（a）=g（x）_max-g（x）_min的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意可得

△=b2-16≥0 -2≤- b 2 ≤2 f(-2)=4-2b+4≥0 f(2)=4+2b+4≥0

；從而解得．
（2）若b=-4，則f（x）=x²-4x+4，從而求出函數(shù)的值域，再令t=f（x），則1≤t≤2；從而化最值為m（t）=t+

a

t

，t∈[1，2]的最值，分類討論即可．

解答： 解：（1）由題意知，

△=b2-16≥0 -2≤- b 2 ≤2 f(-2)=4-2b+4≥0 f(2)=4+2b+4≥0

；
解得，b=±4；
故實數(shù)b的取值集合為{-4，4}；
（2）若b=-4，則f（x）=x²-4x+4，
∵x∈[3，2+

2

]，
∴1≤f（x）≤2；
令t=f（x），則1≤t≤2；
g（x）=f（x）+

a

f(x)

，x∈[3，2+

2

]可化為
m（t）=t+

a

t

，t∈[1，2]；
m′（t）=

t2-a

t2

；
故當a≤1時，
m（t）=t+

a

t

在[1，2]上是增函數(shù)；
故g（x）_max=2+

a

2

，g（x）_min=1+a；
故h（a）=g（x）_max-g（x）_min
=1-

a

2

≥

1

2

；
當1＜a＜4時，
m（t）=t+

a

t

在[1，2]上先減后增；
故g（x）_min=2

a

；
而當1＜a＜2時，g（x）_max=2+

a

2

；
h（a）=2+

a

2

-2

a

＞3-2

2

；
當2≤a＜4時，
g（x）_max=1+a；
h（a）=1+a-2

a

≥3-2

2

；
當a≥4時，
m（t）=t+

a

t

在[1，2]上是減函數(shù)；
故g（x）_min=2+

a

2

，g（x）_max=1+a；
故h（a）=g（x）_max-g（x）_min
=

a

2

-1≥1；
綜上所述，h（a）=g（x）_max-g（x）_min的最小值為3-2

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．