Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長(zhǎng)等于________．

Answer 1

分析：球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上；另一類在不過頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，且均為圓弧，分別求其長(zhǎng)度可得結(jié)果．
解答：解：如圖，球面與正方體的六個(gè)面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一類在不過頂點(diǎn)A的三個(gè)面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．在面AA₁B₁B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/99960.png' />，AA₁=1，則．同理，所以，故弧EF的長(zhǎng)為，而這樣的弧共有三條．在面BB₁C₁C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時(shí)，小圓的圓心為B，半徑為，，所以弧FG的長(zhǎng)為．這樣的弧也有三條．
于是，所得的曲線長(zhǎng)為．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題為空間幾何體交線問題，找到球面與正方體的表面相交所得到的曲線是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．