8.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=6.
(1)求△ABC的面積;
(2)若c+a=8,求b的值.

分析 (1)根據(jù)二倍角公式求出cosB,再求出sinB,根據(jù)向量的數(shù)量積和三角形的面積公式即可求出答案;
(2)根據(jù)余弦定理即可求出答案.

解答 解;(1)∵sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴cosB=1-2sin2$\frac{B}{2}$=1-$\frac{2}{5}$=$\frac{3}{5}$,
∴sinB=$\frac{4}{5}$,
∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=6,
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•cosB=6,
∴|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|=10,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•sinB=$\frac{1}{2}×$10×$\frac{4}{5}$=4;
(2)由(1)可知ac=10,
又c+a=8,
又余弦定理可得,b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2ac×$\frac{3}{5}$=64-$\frac{16}{5}$×10=32,
∴b=4$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理三角形的面積公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算,以及三角函數(shù)的化簡,屬于中檔題.

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