Question

14．已知函數(shù)f（x）=||2x-3|-3|+m恰有四個互補相等的零點x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁x₂x₃x₄的取值范圍是（-$\frac{243}{16}$，0）．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=||2x-3|-3|的圖象，可得方程f（x）=-m（m∈R）恰有四個互不相等的實數(shù)根，m的取值范圍，進而求出方程的四個根，進而根據(jù)m的范圍和二次函數(shù)的圖象和性質，可得x₁x₂x₃x₄的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=||2x-3|-3|的圖象如下圖所示：

由圖可知，若f（x）=-m四個互不相等的實數(shù)根，則-m∈（0，3）
且x₁，x₂，x₃，x₄分別為：
x₁=$\frac{1}{2}$m，x₂=3-$\frac{1}{2}$m，x₃=$\frac{1}{2}$m+3，x₄=-$\frac{1}{2}$m，
∴x₁x₂x₃x₄=$\frac{1}{16}$（m²-18）²-$\frac{81}{4}$∈（-$\frac{243}{16}$，0）
故答案為：（-$\frac{243}{16}$，0）．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中畫出函數(shù)的圖象，引入數(shù)形結合思想是解答本題的關鍵