Question

9．如圖，已知平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為矩形，PA=PD，AD=$\sqrt{2}$AB，E是線段AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求證：AC⊥平面PBE．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)G，以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EG為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EF∥平面PCD．
（2）推導(dǎo)出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EP}$=0，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}$=0，由此能證明AC⊥平面PBE．

解答 證明：（1）取BC中點(diǎn)G，以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EG為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=$\sqrt{2}$，則AD=2，設(shè)PE=t，
則E（0，0，0），P（0，0，t），B（1，$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{t}{2}$），C（-1，$\sqrt{2}$，0），D（-1，0，0），
$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（-1，$\sqrt{2}$，-t），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-t），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+\sqrt{2}y-tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-x-tz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-$\frac{1}{t}$），
∵$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}+0-\frac{1}{2}$=0，EF?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（2）A（1，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（-2，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{EP}$=（0，0，t），$\overrightarrow{PB}$=（1，$\sqrt{2}$，t），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EP}$=0，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}$=-2+2+0=0，
∴$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{EP}$，$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{PB}$，
∴AC⊥EP，AC⊥PB，
∵EP∩PB=P，∴AC⊥平面PBE．

點(diǎn)評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．