Question

19．某高校自主招生，發(fā)送面試通知書，將考生編號(hào)為1，2，3…n的n封面試通知書裝入編號(hào)為1，2，3，…，n的n只信封中，調(diào)查表明恰好裝錯(cuò)3只信封的概率為$\frac{1}{6}$
（1）確定n的值；
（2）寫出裝錯(cuò)信封的件數(shù)ξ的概率分布，并求其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）有n封信裝入n個(gè)的信封共有${A}_{n}^{n}$種裝法，恰有3封信裝錯(cuò)，即其它的n-3封信都裝對(duì)了信封，剩下的3封信裝錯(cuò)的組合共有2${C}_{n}^{3}$種，由此結(jié)合題意能求出n，
（2）由題意ξ=0，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）有n封信裝入n個(gè)的信封共有${A}_{n}^{n}$種裝法，
恰有3封信裝錯(cuò)，即其它的n-3封信都裝對(duì)了信封，剩下的3封信裝錯(cuò)的組合共有2${C}_{n}^{3}$種，
∵調(diào)查表明恰好裝錯(cuò)3只信封的概率為$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{2{C}_{n}^{3}}{{A}_{n}^{n}}$=$\frac{1}{6}$，解得n=5．
（2）由題意ξ=0，2，3，4，5
P（ξ=0）=$\frac{1}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{120}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{10}{120}$，
P（ξ=3）=$\frac{2{A}_{5}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{20}{120}$，
P（ξ=4）=$\frac{{9C}_{5}^{4}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{45}{120}$，
P（ξ=5）=$\frac{44{C}_{5}^{5}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{44}{120}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	2	3	4	5
P	$\frac{1}{120}$	$\frac{10}{120}$	$\frac{20}{120}$	$\frac{45}{120}$	$\frac{44}{120}$

Eξ=$0×\frac{1}{120}+2×\frac{10}{120}+3×\frac{20}{120}+4×\frac{45}{120}$+$5×\frac{44}{120}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．