Question

12．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右交點為F（c，0），經(jīng)過原點且以F為圓心的圓被雙曲線的一條漸近線所截得的弦長為$\sqrt{3}c$，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由點到直線的距離公式求出F到漸近線的距離，再由垂徑定理得答案．

解答 解：如圖，

取雙曲線的一條漸近線方程為bx-ay=0，F(xiàn)到OA的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=b$，
由題意知，2$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}=\sqrt{3}c$，即2a=$\sqrt{3}c$，得e=$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，考查了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．