Question

20．如圖，過點P作圓的切線PC，切點為C，過點P的直線與圓交于點A、B，$PA=2\sqrt{2}$．
（1）若$AB=2\sqrt{2}，∠ACB=∠APC$，求AC的長；
（2）若圓的半徑為2，PC=4，求圓心到直線PB的距離．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理，∠ABC=∠APC，可知△ACB∽△APC，根據(jù)三角形相似性質(zhì)可知$\frac{PA}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，代入即可求得AC的長；
（2）設(shè)圓心到直線PB的距離為d，AB=2$\sqrt{4-iumwsos^{2}}$，根據(jù)切割定理可知PC²=PA•PB，代入即可求得d的值．

解答 解：（1）∵PC與圓相切，切點為C，
BC⊥PC，
由弦切角定理，∠ABC=∠ACP，
又∵由BC為圓的直徑，
∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠APC，
∴△ACB∽△APC，
$\frac{PA}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即AC²=PA•AB=8，
∴AC=2$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)圓心到直線PB的距離為d，
∴AB=2$\sqrt{4-6gy6eay^{2}}$，
由切割定理可得：PC²=PA•PB，
即16=2$\sqrt{2}$（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{4-wkuoe6m^{2}}$），
解得：d=$\sqrt{2}$，
圓心到直線PB的距離$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與圓的關(guān)系，考查弦切角定理，切割定理的應(yīng)用及三角形相似的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．