Question

（本小題滿分13分）

等差數(shù)列的前項和為，已知為整數(shù)，且在前項和中最大.

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）設(shè).

（1）求證：； （2）求數(shù)列的前項和.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）略；（2）.

【解析】

試題分析: （Ⅰ）因為等差數(shù)列的前項和中最大，，為整數(shù)，所以公差是負(fù)整數(shù)，且，所以，結(jié)合是整數(shù)，求得公差，再求出通項公式；

（Ⅱ）先求出，（1）利用做差比較法可知是遞減數(shù)列，進而證得結(jié)論；（2）因為，所以，，利用錯位相減法求得數(shù)列的前項和.等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成新數(shù)列求和，要用錯位相減法.

試題解析：（Ⅰ）由為整數(shù)知，等差數(shù)列的公差為整數(shù)， 1分

又，故，即， 3分

解得 ， 4分

因此， 5分

數(shù)列的通項公式為. 6分

（Ⅱ）（1）由題意知，∴， 8分

∴數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，的最大項為，所以. 9分

，

，

兩式相減得， 11分

∴. 13分

考點：①求數(shù)列通項公式；②數(shù)列的單調(diào)性；③數(shù)列求和.