Question

20．已知關(guān)于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0，a∈R．
（1）已知不等式的解集為（-∞，-1]∪[2，+∞），求實數(shù)a的值；
（2）若不等式ax²+（a-2）x-2≥2x²-3對x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）解關(guān)于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0．

Answer 1

分析 （1）由題意可得-1，2是方程ax²+（a-2）x-2=0的兩根（a＞0），運用韋達(dá)定理，解方程可得a的值；
（2）由題意可得（a-2）x²+（a-2）x+1≥0恒成立，討論a=2，a＞2，判別式小于等于0，a＜2不恒成立，解不等式即可得到所求a的范圍；
（3）不等式可將其轉(zhuǎn)化為（ax-2）（x+1）≥0，討論a=0，a＜0，a＞0，$\frac{2}{a}$與-1的大小關(guān)系進(jìn)行討論，注意a=0的情況先討論，從而進(jìn)行求解．

解答 解：（1）由題意可得-1，2是方程ax²+（a-2）x-2=0的兩根（a＞0），
可得-1+2=$\frac{2-a}{a}$，-1×2=-$\frac{2}{a}$，
解得a=1；
（2）不等式ax²+（a-2）x-2≥2x²-3對x∈R恒成立，
即為（a-2）x²+（a-2）x+1≥0恒成立，
當(dāng)a=2時，不等式即為1≥0恒成立；
當(dāng)a＞2時，△≤0即為（a-2）²-4（a-2）≤0，解得2＜a≤6；
當(dāng)a＜2時，不等式不恒成立．
綜上可得，a的取值范圍是[2，6]；
（3）不等式ax²+（a-2）x-2≥0．
即有（ax-2）（x+1）≥0．
①當(dāng)a=0時，原不等式化為x+1≤0⇒x≤-1；
②當(dāng)a＜0時，原不等式化為（x+1）≤0，即x≤-1；
當(dāng)$\frac{2}{a}$＞-1，即a＜-2時，原不等式等價于-1≤x≤$\frac{2}{a}$；
當(dāng)$\frac{2}{a}$=-1，即a=-2時，原不等式等價于x=-1；
當(dāng)$\frac{2}{a}$＜-1，即-2＜a＜0時，原不等式等價于$\frac{2}{a}$≤x≤-1．
③當(dāng)a＞0時，$\frac{2}{a}$＞-1，原不等式等價于x≥$\frac{2}{a}$或x≤-1．
綜上所述：當(dāng)a＜-2時，原不等式的解集為；
當(dāng)a=-2時，原不等式的解集為{-1}；
當(dāng)-2＜a＜0時，原不等式的解集為[$\frac{2}{a}$，-1]；
當(dāng)a=0時，原不等式的解集為（-∞，-1]；
當(dāng)a＜-2時，原不等式的解集為[-1，$\frac{2}{a}$]；
當(dāng)a＞0時，原不等式的解集為（-∞，-1]∪[$\frac{2}{a}$，+∞）．

點評 本題考查二次不等式的解法和不等式恒成立恒成立問題的解法，以及含參二次不等式的解法，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．