14.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,且過點(0,1).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過橢圓左頂點A的直線l與橢圓的另一交點為B.與直線x=a交于點P,求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OP}$的值.

分析 (Ⅰ)利用已知條件求出b,通過離心率以及a、b、c關系,求出a,即可求橢圓的方程;
(Ⅱ)求出A設出B,得到直線方程,求出P的坐標,計算下來的數(shù)量積,推出結果即可.

解答 解:(Ⅰ)∵$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,b=1,∴a2=2,b2=1,∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$.…(4分)
(Ⅱ)由(1)可知點$A(-\sqrt{2},0)$,設B(x0,y0),則$l:y=\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{2}}}(x+\sqrt{2})$.…(6分)
令$x=\sqrt{2}$,解得$y=\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$,即$P(\sqrt{2},\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}})$,…(8分)
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=({x_0},{y_0})•(\sqrt{2},\frac{{2\sqrt{2}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}})=\frac{{\sqrt{2}({x_0}^2+2{y_0}^2)+2{x_0}}}{{{x_0}+\sqrt{2}}}$,…(10分)
又∵B(x0,y0)在橢圓上,則${x_0}^2+2{y_0}^2=2$,∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}=2$.…(12分)

點評 本題考查橢圓的方程的求法,向量在橢圓中的應用,直線與橢圓的位置關系,考查轉化思想以及計算能力.

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