Question

【題目】現(xiàn)有一塊大型的廣告宣傳版面，其形狀是右圖所示的直角梯形.某廠家因產(chǎn)品宣傳的需要，擬投資規(guī)劃出一塊區(qū)域（圖中陰影部分）為產(chǎn)品做廣告，形狀為直角梯形（點(diǎn)在曲線段上，點(diǎn)在線段上）.已知， ，其中曲線段是以為頂點(diǎn)， 為對(duì)稱軸的拋物線的一部分.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，分別求出曲線段與線段的方程；

(2)求該廠家廣告區(qū)域的最大面積.

Answer 1

【答案】(1)直角坐標(biāo)系見(jiàn)解析; 曲線段的方程為： ；

線段的方程為： .

(2) .

【解析】試題分析：（1）以AB為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（6，0），C（6，-12），D（0，-6）．設(shè)曲線AC的方程x2=-2py，（p＞0，0≤x≤6）．代入C坐標(biāo)即可求得p，即可求出曲線段的方程，由DC兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求出線段的方程；

（2）設(shè)出F點(diǎn)橫坐標(biāo)a，將廠家廣告區(qū)域的面積表示為a的函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可．

試題解析：（1）以直線為軸，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示）.

則， ， ， ，

曲線段的方程為： ；

線段的方程為： ；

（2）設(shè)點(diǎn)，則需，即,

則， ， .

∴， ， ，

則廠家廣告區(qū)域的面積

，

∴，

令，得， .

∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

∴.

∴廠家廣告區(qū)域的面積最大值是.

點(diǎn)睛:本題利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是合理建系設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)即可表示出面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可求出最值.