Question

用平面向量的方法證明：三角形的三條中線交于一點．

Answer 1

分析：在△ABC中，設(shè)D、E、F分別為BC、AC、AB的中點，BE與AD的交點為G，證明

BG

=

2

3

BE

，

CF

=

3

2

CG

，即可得到結(jié)論．

解答：證明：在△ABC中，設(shè)D、E、F分別為BC、AC、AB的中點，BE與AD的交點為G，
設(shè)

BA

=

e1

，

BC

=

e2

，則

CA

=

e1

-

e2

，

e1

，

e2

不共線，

AD

=

BD

-

BA

=

1

2

e2

-

e1

，
設(shè)

BG

=λ

BE

，則

AG

=

BG

-

BA

=λ

BE

-

e1

=（

λ

2

-1）

e1

+

λ

2

e2

∵

AG

，

AD

共線，∴

λ 2 -1

-1

=

λ 2

1 2

，得λ=

2

3

∴

CG

=

BG

-

BC

=

1

3

e1

-

2

3

e2

∴

CF

=

BF

-

BC

=

3

2

（

1

3

e1

-

2

3

e2

）=

3

2

CG

∴CG與CF共線，G在CF上
∴三條中線交與一點．

點評：本題考查向量在幾何中的運用，考查學(xué)生的計算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．