Question

(本小題滿分14分) 如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A、B、C三點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn).分別過點(diǎn)C、D作平行于軸的直線、.（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；（2）求證:以O(shè)N為直徑的圓與直線相切；（3）求線段MN的長(zhǎng)（用表示），并證明M、N兩點(diǎn)到直線的距離之和等于線段MN的長(zhǎng).

Answer 1

（1） ；（2）見解析； （3）

此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根與系數(shù)的關(guān)系，梯形的中位線定理，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是要求同學(xué)們能將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通．
（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，然后利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），然后代入拋物線方程，用含y₂的式子表示出ON，設(shè)ON的中點(diǎn)E，分別過點(diǎn)N、E向直線l、作垂線，垂足為P、F，利用梯形的中位線定理可得出EF，與所求ON的值進(jìn)行比較即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)M作MH丄NP交NP于點(diǎn)H，在RT△MNH中表示出MN²，結(jié)合直線方程將MN²化簡(jiǎn)，求出MN，然后延長(zhǎng)NP交l₂于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MS丄l₂交l₂于點(diǎn)S，則MS+NQ=y₁+2+y₂+2，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出，并代入，從而可得出結(jié)論。
解答：（1）設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式為
由 ，解得，所以 ……………………4分
（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M、N在拋物線上，

所以，，所以；
又=，所以O(shè)N=，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234245962464.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以O(shè)N
設(shè)ON的中點(diǎn)為E，分別過點(diǎn)Ｎ、Ｅ向直線作垂線，垂足分別為P、F，
則   所以O(shè)N=2EF，
即ON的中點(diǎn)到直線的距離等于ON長(zhǎng)度的一半， 所以以O(shè)N為直徑的圓與直線相切.                                          …………………………………9分
（3）過點(diǎn)M作MH⊥NP交NP于點(diǎn)H，則
又，所以
所以；
又因?yàn)辄c(diǎn)M、N既在的圖象上，又在拋物線上，所以，即，
所以，
所以，所以 所以 
延長(zhǎng)NP交于點(diǎn)Ｑ，過點(diǎn)Ｍ作ＭＳ⊥交于點(diǎn)S，
則MS+NQ=
又=所以MS+NQ=
即MN兩點(diǎn)到距離之和等于線段MN的長(zhǎng).…………………………………………14