Question

9．已知F是雙曲線E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作E的一條漸近線的垂線，垂足為P，垂線PF與E相交于點(diǎn)Q，記點(diǎn)Q到E的兩條漸近線的距離之積為d²，若|FP|=2d，則該雙曲線的離心率（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 雙曲線漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，由b²x²-a²y²=a²b²及雙曲線的性質(zhì)，即可求得$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$=d²，|FP|=2d，即可求得a與c的關(guān)系，求得雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0），雙曲線上任意一點(diǎn)Q（x，y）到兩條漸近線ay±bx=0的距離，
則d₁=$\frac{丨ay-bx丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，d₁=$\frac{丨ay+bx丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
則d₁d₂=$\frac{{丨a}^{2}{y}^{2}-^{2}{x}^{2}丨}{{a}^{2}+^{2}}$，
由Q在雙曲線上，則b²x²-a²y²=a²b²，
d₁d₂=$\frac{^{2}{x}^{2}-{a}^{2}{y}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$=d²，
F（c，0）到漸近線bx-ay=0的距離為$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=b=2d，
∴$\frac{ab}{c}$=$\frac{2}$，
∴則橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=2，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．