Question

8．若關(guān)于x的不等式x²+ax+9≥0在x≥1時(shí)恒成立，則a的取值范圍是a≥-6．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式x²+ax+9≥0在x≥1時(shí)恒成立，得出a≥-（x+$\frac{9}{x}$）在x≥1時(shí)恒成立；構(gòu)造函數(shù)f（x）=-（x+$\frac{9}{x}$），x≥1，求f（x）_max即可得出結(jié)論．

解答 解：關(guān)于x的不等式x²+ax+9≥0在x≥1時(shí)恒成立，
∴a≥-（x+$\frac{9}{x}$）在x≥1時(shí)恒成立；
構(gòu)造函數(shù)f（x）=-（x+$\frac{9}{x}$），其中x≥1，
∴a≥f（x）_max；
∵x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{9}{x}$，即x=3時(shí)取“=”；
∴函數(shù)f（x）=-（x+$\frac{9}{x}$）在x≥1時(shí)有最大值為f（3）=-6，
∴a的取值范圍是a≥-6．
故答案為：a≥-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，此類問(wèn)題常構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問(wèn)題：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．