Question

5．若點(diǎn)P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x-2y+1≤0}\\{x+y-2≤0}\end{array}\right.$上，則x²+（y+1）²的最大值和最小值的積是$\frac{81}{5}$．

Answer 1

分析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域，設(shè)z=x²+（y+1）²的幾何意義為區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)P（0，-1）的距離的平方．由圖象可得P到直線x-2y+1=0的距離最小，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，可得最小值；P到M的距離最大，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式即可得到最大值，進(jìn)而得到之積．

解答 解：畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x-2y+1≤0}\\{x+y-2≤0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域三角形區(qū)域A，
則z=x²+（y+1）²的幾何意義
為區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)P（0，-1）的距離的平方．
由圖象可得P到直線x-2y+1=0的距離最小，且為 $\frac{|0+2+1|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
可得z的最小值為（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{9}{5}$；
又P到M（0，2）的距離最大，且為3，可得z的最大值為9．
即有最大值和最小值的積是9×$\frac{9}{5}$=$\frac{81}{5}$．
故答案為：$\frac{81}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式組表示的平面區(qū)域，以及目標(biāo)函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．