Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

(a＞1)．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）求該函數(shù)的值域；
（3）證明f（x）是R上的增函數(shù)．

Answer 1

（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
f（-x）+f（x）=

a-x-1

a-x+1

+

ax-1

ax+1

=

(ax-1)(a-x+1)+(a-x-1)(ax+1)

(ax+1)(a-x+1)

=0
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)  
 （2）∵f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

   （a＞1）
設(shè)t=a^x，則t＞0，y=1-

2

t+1

的值域?yàn)椋?1，1）
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1）
（3）證明：法一：∵f′（x）=

2axlna

(ax+1)2

＞0
∴f（x）是R上的增函數(shù)
法二：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∴ax1-ax2＜0，ax1+1＞0，ax2+1＞0，
∴

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數(shù)