Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≤1}\\{-{x}^{2}+4x-\frac{5}{2}，x＞1}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=$\frac{3}{2}$x-a，其中a∈R，若函數(shù)y=f（x）-g（x）恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{15}{16}$）
• B． （$\frac{15}{16}$，1）
• C． （1，$\frac{16}{15}$）
• D． （1，$\frac{5}{4}$）

Answer 1

分析 由y=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），作出兩個函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：由y=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），作出兩個函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，
則A（1，$\frac{1}{2}$），
當g（x）經過點A時，f（x）與g（x）有2個交點，此時g（1）=$\frac{3}{2}$-a=$\frac{1}{2}$，此時a=1，
當g（x）與f（x）在x＞1相切時，此時f（x）與g（x）有2個交點
由-x²+4x-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$x-a，
即x²-$\frac{5}{2}$x+$\frac{5}{2}$-a=0，
由判別式△=0得（$\frac{5}{2}$）²-4（$\frac{5}{2}$-a）=0，
得a=$\frac{15}{16}$，
要使f（x）與g（x）有3個交點，則g（x）位于這兩條線之間，
則a滿足a∈（$\frac{15}{16}$，1），
故選：B

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用條件轉化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結合作出兩個函數(shù)的圖象是解決本題的關鍵．綜合性較強．