Question

已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，.

 

Answer 1

（1）h(0)＝0；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、不等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力，考查學(xué)生的函數(shù)思想.第一問，先得到表達(dá)式，對(duì)求導(dǎo)，利用“單調(diào)遞增；單調(diào)遞減”解不等式求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性確定最小值所在的位置；第二問，先將和代入到所求的式子中，得到①式，再利用第一問的結(jié)論，即，即得到，通過且得，在上式中兩邊同乘得到②式，若成立則所求證的表達(dá)式成立，所以構(gòu)造函數(shù)φ(t)＝(1－t)k－1＋kt，證明即可.

（1）h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x，h?(x)＝ex－1．

當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，h?(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h?(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增．

當(dāng)x＝0時(shí)，h(x)取最小值h(0)＝0． 4分

（2）即． ①

由（1）知，，即，

又，則．

所以． ② 7分

設(shè)φ(t)＝(1－t)k－1＋kt，t∈[0，1]．

由k＞1知，當(dāng)t∈(0，1)時(shí)，φ?(t)＝－k(1－t)k－1＋k＝k[1－(1－t)k]＞0，

φ(t)在[0，1]單調(diào)遞增，當(dāng)t∈(0，1)時(shí)，φ(t)＞φ(0)＝0．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719172247588822/SYS201411171917341950610338_DA/SYS201411171917341950610338_DA.022.png">，所以，

因此不等式②成立，從而不等式①成立． 12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、不等式的基本性質(zhì).