Question

4．已知G點為△ABC的重心，且滿足BG⊥CG，若$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{λ}{tanA}$，則實數(shù)λ=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用G點為△ABC的重心，且滿足BG⊥CG，得到$\overrightarrow{BG}•\overrightarrow{CG}$=0，進(jìn)一步得到用$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}$表示，得到三邊關(guān)系，將所求轉(zhuǎn)化為三角的弦函數(shù)表示整理即得．

解答 解：∵G點為△ABC的重心，且滿足$BG⊥CE⇒\overrightarrow{BG}•\overrightarrow{CG}=0$
∴$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）•\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=0$所以$（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）（\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{BC}）$=0，
展開得${\overrightarrow{BA}}^{2}-2{\overrightarrow{BC}}^{2}-\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=0，即${c}^{2}-2{a}^{2}-ac•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=0$，∴5a²=b²+c²
而$λ=\frac{tanA}{tanB}+\frac{tanA}{tanC}$=$\frac{sinA}{cosA}•\frac{sin（B+C）}{sinB•sinC}$=$\frac{a^2}{{bc•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}}}=\frac{{2{a^2}}}{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}=\frac{{2{a^2}}}{{4{a^2}}}=\frac{1}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角形重心的性質(zhì)以及數(shù)量積的運(yùn)算和余弦定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是得到三邊的關(guān)系．