Question

如圖，在四棱錐中，//，，，，平面平面．

（1）求證：平面平面；

（2）若直線與平面所成的角的正弦值為，求二面角的平面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）證明面面垂直的基本思路，是在其中一個(gè)面內(nèi)，找一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線，本題只需證明ED⊥PA，ED⊥AC即可；（2）重點(diǎn)是找二面角的平面角，即在兩個(gè)面內(nèi)分別找垂直于交線的直線，然后構(gòu)造三角形求解。當(dāng)然，利用空間向量也是解決本題的好辦法。

試題解析：法一（1）取中點(diǎn)，連接，則，

∴四邊形是平行四邊形，∴//

∵直角△和直角△中，

∴直角△直角△，易知

∴

∵平面平面，平面平面

∴平面

∴，

∵

∴平面.

∴平面平面.

（2）設(shè)交于，連接，則是直線與平面所成的角.設(shè)

由△△，知，

∵

∴，

∵∴，

作于，由，知平面，

∴，

∴是二面角的平面角.

∵△△，

∴，而

∴

∴，

∴，

即二面角的平面角的余弦值為.

法二：（1）∵平面平面，

平面平面，

∴平面

又∵，故可如圖建立空間直角坐標(biāo)系

由已知，，，（）

∴，，

∴，，

∴，，

∴平面

∴平面平面

（2）由（1），平面的一個(gè)法向量是，

設(shè)直線與平面所成的角為，

∴，

∵

∴，即

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，

由，

∴，令，則

∴，

顯然二面角的平面角是銳角，

∴二面角的平面角的余弦值為

考點(diǎn)：空間幾何體，線面位置關(guān)系