Question

5．已知函數(shù)f（x）=axlnx圖象上點（e，f（e））處的切線與直線y=2x平行，g（x）=x²-tx-2
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點（e，f（e））處的切線方程與直線2x-y=0平行，得該切線斜率為2，由此能求出f（x）；
（2）由題意可得3xlnx≥x²-tx-2，即t≥x-$\frac{2}{x}$-3lnx在（0，e]恒成立，令h（x）=x-$\frac{2}{x}$-3lnx，求出導數(shù)，求得單調區(qū)間，求得（0，e]內的最大值，即可得到t的范圍．

解答 解：（1）由點（e，f（e））處的切線方程與直線2x-y=0平行，
得該切線斜率為2，即f'（e）=2．
又∵f'（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx；
（2）對一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
即為3xlnx≥x²-tx-2，即t≥x-$\frac{2}{x}$-3lnx在（0，e]恒成立，
令h（x）=x-$\frac{2}{x}$-3lnx，h′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$=$\frac{（x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
當1＜x＜2時，h′（x）＜0，h（x）遞減；
當0＜x＜1或2＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）遞增．
由h（1）=1-2-0=-1，h（e）=e-$\frac{2}{e}$-3＜-1，
可得h（1）為最大值，即有t≥-1．
則實數(shù)t的取值范圍為[-1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，考查函數(shù)的解析式的求法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構造函數(shù)求出導數(shù)，判斷單調性求最值，屬于中檔題．