Question

17．設(shè)函數(shù)$f（x）=ax+\frac{1+（x-1）}{x-1}$，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從2，3，4，5四個數(shù)中任取的一個數(shù)，則f（x）＞b恒成立的概率為$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 先把f（x）的解析式變形，用分離常數(shù)法，然后用均值不等式求出最小值，本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的所有事件是12個，滿足條件的事件是10個，列舉出結(jié)果，即可得答案．

解答 解：函數(shù)$f（x）=ax+\frac{1+（x-1）}{x-1}$=ax+$\frac{1}{x-1}$+1
=a（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1+a≥2$\sqrt{a}$+1+a=（$\sqrt{a}$+1）²，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{\frac{1}{a}}$+1＞1時，取“=”，
∴f（x）min=（$\sqrt{a}$+1）²，
于是f（x）＞b恒成立就轉(zhuǎn)化為（$\sqrt{a}$+1）²＞b成立．
設(shè)事件A：“f（x）＞b恒成立”，
則基本事件總數(shù)為12個，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10個
由古典概型得P（A）=$\frac{10}{12}$=$\frac{5}{6}$．

點評 本題考查了古典概型概率，在使用古典概型的概率公式時，應(yīng)該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)；當(dāng)解析式中含有分式，且分子分母是齊次的，注意運用分離常數(shù)法來進(jìn)行式子的變形，在使用均值不等式應(yīng)注意一定，二正，三相等，是中檔題．