Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=，D為AA₁中點(diǎn)，BD與AB₁交于點(diǎn)O，CO丄側(cè)面ABB₁A_1.

(Ⅰ)證明：BC丄AB₁；
(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C₁-BD-C的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/0e/2/axnuo.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，推出，
又，得到，所以，得到,得到          
（Ⅱ）二面角的余弦值為 .

解析試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/0e/2/axnuo.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，

為中點(diǎn)，，，,
所以在直角三角形中,,
在直角三角形中,,
所以=,
又，   ，
所以在直角三角形中，故，
即，               4分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/e2/f/jauaz2.png" style="vertical-align:middle;" />，,
所以
所以，,,
故           6分
（Ⅱ）解法一：
如圖，由（Ⅰ）可知，兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

在RtDABD中，可求得,,，
在RtDABB­₁中，可求得 ，
故,,,
所以 ,,
可得，               8分
設(shè)平面的法向量為 ，則 ，
即，
取，則 ，         10分
又，
故，
所以，二面角的余弦值為              12分
解法二：連接交于,連接，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/e2/f/jauaz2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，又，
所以，故
所以為二面角的平面角            8分
，