Question

（本小題滿分14分）已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線相切.

（1）求直線被圓C所截得的弦AB的長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)G（1,3）作兩條與圓C相切的直線，切點(diǎn)分別為M,N，求直線MN的方程；

（3）若與直線垂直的直線不過(guò)點(diǎn)R（1,-1），且與圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q.若∠PRQ為鈍角，求直線的縱截距的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）已知得圓的半徑為圓心到直線的距離，求得半徑r=2，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；通過(guò)半弦長(zhǎng)與半徑、弦心距的關(guān)系求得弦AB長(zhǎng)為；（2）由題意知點(diǎn)M、N在以點(diǎn)為圓心，線段長(zhǎng)為半徑的圓G上，而，所以，圓G的方程為，與圓C的方程相減得公共弦MN的方程；（3）由已知可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立圓的方程化簡(jiǎn)得，得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，又為鈍角，所以,變形化簡(jiǎn)得，而當(dāng)b=0時(shí)直線過(guò)點(diǎn)R（1，-1），所以縱截距b的取值范圍是.

試題解析：（1）由題意得：圓心到直線的距離為圓的半徑，

，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

所以圓心到直線的距離

（2）因?yàn)辄c(diǎn),所以,

所以以點(diǎn)為圓心，線段長(zhǎng)為半徑的圓方程： （1）

又圓方程為： （2），由得直線方程：

（3）設(shè)直線的方程為：聯(lián)立得：，

設(shè)直線與圓的交點(diǎn)，

由，得， （3）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011006025847674564/SYS201501100603082896423006_DA/SYS201501100603082896423006_DA.017.png">為鈍角，所以,

即滿足，且與不是反向共線，

又，

所以 （4）

由（3）（4）得，滿足，即，

當(dāng)與反向共線時(shí)，直線過(guò)（1，-1），此時(shí)，不滿足題意，

故直線縱截距的取值范圍是，且

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系與向量的數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用