Question

設函數(shù)f₀（x）=-sinx，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N^*，則f₂₀₁₅（x）=（　�。�

• A、cosx
• B、-sinx
• C、sinx
• D、-cosx

Answer 1

考點：導數(shù)的運算,函數(shù)的周期性

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：由題意對函數(shù)的變化規(guī)律進行探究，發(fā)現(xiàn)呈周期性的變化，且其周期是4，即可得到結論．

解答： 解：由題意f₀（x）=-sinx，
f₁（x）=f₀′（x）=-cosx，
f₂（x）=f₁′（x）=sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=-sinx，
由此可知，在逐次求導的過程中，所得的函數(shù)呈周期性變化，從0開始計，周期是4，
∵2015=4×503+3，
故f₂₀₁₅（x）=f₃（x）=cosx
故選：A．

點評：本題考查函數(shù)的周期性，探究過程中用的是歸納推理，對其前幾項進行研究得出規(guī)律，求解本題的關鍵一是要歸納推理的意識，一是對正、余弦函數(shù)的導數(shù)求法公式熟練掌握．