Question

15．已知點$（2，\frac{1}{2}+2ln2）$在函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+2ln x的圖象上
（1）求參數(shù)a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）將（2，$\frac{1}{2}$+2ln2）代入函數(shù)f（x）的解析式得：
$\frac{1}{2}$+2ln2=$\frac{a}{2}$+2ln2，解得：a=1；
（2）由（1）f（x）=$\frac{1}{x}$+2lnx，
f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
所以當0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f'（x）＜0，當x＞$\frac{1}{2}$時，f'（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．