Question

求解析式：
（1）已知f（x）為二次函數(shù)，且f（2x+1）+f（2x-1）=16x²-4x+6，求f（x）．
（2）已知f（

x

+1）=x+2

x

，求f（x）．
（3）如果函數(shù)f（x）滿(mǎn)足方程f（x）+2f（-x）=x，x∈R，求f（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）待定系數(shù)法．
（2）這是含未知數(shù)f（x）的等式，比較抽象，在函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則不變的條件下，自變量變換為其他字母的代數(shù)式，對(duì)函數(shù)本身并無(wú)影響．
（3）因?yàn)楫?dāng)x∈R時(shí)，都有f（x）+2f（-x）=x，所以利用方程思想解得f（x）．

解答： 解：（1）待定系數(shù)法：設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∴f（2x+1）=a（2x+1）²+b（2x+1）+c，
f（2x-1）=a（2x-1）²+b（2x-1）+c，
∴f（2x+1）+f（2x-1）=8ax²+4bx+2a+2c=16x²-4x+6，
∴

8a=16 4b=-4 2a+2c=6

，解得

a=2 b=-1 c=1

；
∴f（x）=2x²-x+1；
（2）方法一：配湊法，
∵f（

x

+1）=x+2

x

=（

x

+1）²-1（

x

+1≥1），
∴f（x）=x²-1（x≥1）；
方法二：換元法，
令

x

+1=t，則x=（t-1）²（t≥1），
∴f（t）=（t-1）²+2

(t-1)2

=t²-1，
∴f（x）=x²-1（x≥1）；
（3）∵f（x）+2f（-x）=x，當(dāng)x∈R時(shí)成立，
用-x替換x得，f（-x）+2f（x）=-x．
得到方程組

f(x)+2f(-x)=x，① f(-x)+2f(x)=-x，②

②×2-①，得3f（x）=-3x，∴f（x）=-x．

點(diǎn)評(píng)：（i）配湊法簡(jiǎn)便易行，但對(duì)變形能力、觀(guān)察能力要求較高，換元法易掌握，但利用這種方法時(shí)要注意自變量取值范圍的變化情況，否則得不到正確的解析式．
（ii）利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函數(shù)式子，而得到f（x）的表達(dá)式，此種方法稱(chēng)為消去法，也稱(chēng)為解方程法．