Question

17．已知x，y都是正實(shí)數(shù)，求證：
（1）$\frac{x}{y}$$+\frac{y}{x}$≥2；
（2）（x+y）（x²+y²）（x³+y³）≥8x³y³．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用基本不等式：a+b≥2$\sqrt{ab}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b取得等號(hào)），即可得證；
（2）運(yùn)用基本不等式和不等式的性質(zhì)：可乘性，即可得到證明．

解答 證明：（1）x，y都是正實(shí)數(shù)，
可得$\frac{x}{y}$$+\frac{y}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=2，（當(dāng)且僅當(dāng)x=y取得等號(hào)）；
（2）（x+y）（x²+y²）（x³+y³）
≥（2$\sqrt{xy}$）•（2xy）•（2$\sqrt{{x}^{3}{y}^{3}}$）
=8xy•（xy）²=8x³y³，（當(dāng)且僅當(dāng)x=y取得等號(hào)）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式，考查化簡(jiǎn)推理的能力，屬于基礎(chǔ)題．