Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx-cosωx，sinωx），$\overrightarrow$=（sinωx+cosωx，2$\sqrt{3}$cosωx），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+λ的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
（II）若y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{π}{5}$，0），若集合A={x|f（x）=t，x∈[0，$\frac{3π}{5}$]}僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換求得f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+λ=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+λ．
（I）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，可得2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，結(jié)合2ωx-$\frac{π}{6}$，可得ω 的值．結(jié)合函數(shù)圖象求得單調(diào)減區(qū)間；
（II）此題實(shí)際上是解答函數(shù)f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1與y=t在x∈[0，$\frac{3π}{5}$]上只有一個(gè)交點(diǎn)的問題．

解答 解：$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+λ=（{sinωx-cosωx}）（{sinωx+cosωx}）+2\sqrt{3}sinωxcosωx+λ$=$\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（{2ωx-\frac{π}{6}}）+λ$．
（I）由f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱知：$2ωπ-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ⇒ω=（{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}k}）∈（{\frac{1}{2}，1}），k∈Z$，
所以$ω=\frac{5}{6}$．
由$f（x）=2sin（{\frac{5}{3}x-\frac{π}{6}}）+λ$知，該函數(shù)的最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{5}{3}}}=\frac{6π}{5}$．
所以2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
所以$\frac{2π}{5}$+$\frac{6kπ}{5}$≤x≤π+$\frac{6kπ}{5}$，
所以該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為$[{\frac{2π}{5}+\frac{6kπ}{5}，π+\frac{6kπ}{5}}]，k∈Z$；
（I I）y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{π}{5}$，0），得$f（{\frac{π}{5}}）=2sin\frac{π}{6}+λ=0⇒λ=-1$．
所以f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1，
∵集合A={x|f（x）=t，x∈[0，$\frac{3π}{5}$]僅有一個(gè)元素，
∴f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1與y=t在x∈[0，$\frac{3π}{5}$]上只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為t=1或-2≤t＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．