Question

10．設(shè)過點(diǎn)P（-1，1）作兩直線，PA，PB與拋物線y²=4x任相切于點(diǎn)A，B，若F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，|$\overrightarrow{AF}$|•|$\overrightarrow{BF}$|=（　�。�

• A． $\sqrt{15}$
• B． 5
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 求出切線AP、BP的方程，代入P點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理，向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（$\frac{1}{4}$y₀²，y₀）和（$\frac{1}{4}$y₁²，y₁）（y₁≠y₀），
∵2yy′=4，∴兩切線斜率分別為：$\frac{2}{{y}_{0}}$和$\frac{2}{{y}_{1}}$，
于是：切線AP的方程為：2x-yy₀+$\frac{1}{2}$y₀²=0
代入P點(diǎn)的坐標(biāo)為：y₀²-2y₀-4=0．
同理y₁²-2y₁-4=0
由題意，y₀+y₁=2，y₀y₁=-4，
∴|$\overrightarrow{AF}$|•|$\overrightarrow{BF}$|=-（1-$\frac{1}{4}$y₀²，-y₀）•（1-$\frac{1}{4}$y₁²，-y₁）=-[1-$\frac{1}{4}$（y₀²+y₁²）+$\frac{1}{16}$y₀²y₁²+y₀y₁]=5．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量的數(shù)量積公式，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．